Question

（2010•郑州三模）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₁=1，tS_n-（2t+1）S_n-1=t，其中t＞0，n∈N﹡，n≥2．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}是等比数列；
（Ⅱ）设数列{a_n}的公比为f（t）数列{b_n}满足b₁=1，b_n=f（

1

bn-1

）（n≥2），求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若t=1，数列{b_n}的前n项和为T_n，试比较a_n和T_n的大小关系．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用tS_n-（2t+1）S_n-1=t，将条件变形，利用等比数列的定义证明

an+1

an

是常数．
（Ⅱ）利用条件，证明数列{b_n}是等差数列，然后利用等差数列的定义求通项公式．
（Ⅲ）利用（Ⅱ）的条件，求出a_n和T_n，然后利用作差法分别讨论a_n和T_n的大小．

解答：解：（Ⅰ）当n≥2时，tS_n-（2t+1）S_n-1=t    ①
tS_n+1-（2t+1）S_n=t    ②
②-①得：ta_n+1-（2t+1）a_n=0，
∵t＞0∴an+1=

2t+1

t

an，
又当n=2时，由a₁=1，t（a₂+a₁）-（2t+1）a₁=t，得a₂=

2t+1

t

由于a_n≠0，

2t+1

t

≠0，所以对n∈N^*总有

an+1

an

=

2t+1

t

，
即数列{a_n}是首项为1，公比为

2t+1

t

的等比数列．            （8分）
（Ⅱ）由（1）知f（t）=

2t+1

t

，则b_n=f（

1

bn-1

）=2+b_n-1，
又b₁=1，所以数列{b_n}是以1为首项，2为公差的等差数列．
故bn=2n-1，n∈N*                                   （12分）
（Ⅲ）由Ⅱ知，T_n=n+

n(n-1)

2

×2=n2．
若t=1，则等比数列{a_n}是首项为1，公比为3，所以an=3n-1，
则Tn-an=n2-3n-1，
当n=1时，Tn-an=n2-3n-1=1-1=0，此时T_n=a_n．
当n=2时，Tn-an=n2-3n-1=22-3=1＞0，此时T_n＞a_n．
当n=3时，Tn-an=n2-3n-1=32-32=0，此时T_n=a_n．
当n=4时，Tn-an=n2-3n-1=42-33=-11＜0，此时T_n＜a_n．
当n＞4时，Tn-an=n2-3n-1＜0，此时恒有T_n＜a_n．
综上当n=1或3时，T_n=a_n，当n=2时，T_n＞a_n，当n≥4时，T_n＜a_n．

点评：本题主要考查等差数列和等比数列的性质和运算，以及等比数列和等差数列的通项公式．考查学生的运算能力．