Question

已知函数f(x)=-

1

3

x3+2ax2-3a2x+b，（a，b∈R）
（1）当a=3时，若f（x）有3个零点，求b的取值范围；
（2）对任意a∈[

4

5

，1]，当x∈[a+1，a+m]时恒有-a≤f'（x）≤a，求m的最大值，并求此时f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）把a=3代入f（x），函数f（x）进行求导，求出函数单调区间，研究其极值，从而求出b的范围；
（2）对任意a∈[

4

5

，1]，可知当x∈[a+1，a+m]时恒有-a≤f'（x）≤a，将问题转化为f'（a+1）=2a-1＜a恒成立，再利用常数分离法进行求解；

解答：解：∵函数f(x)=-

1

3

x3+2ax2-3a2x+b，
∴f'（x）=-x²+4ax-3a²
（1）若a=3，f'（x）=-（x-3）（x-9），
f（x）极小值=f（3）=-36+b，
f（x）极大值=f（9）=b
由题意：

b＞0 -36+b＜0

∴0＜b＜36
（2）a∈[

4

5

，1]时，有2a≤a+1≤2，
由f'（x）图象，f'（x）在[a+1，a+m]上为减函数，
∴f'（a+m）＜f'（a+1）易知f'（a+1）=2a-1＜a必成立；
只须f'（a+m）≥-a得

1

a

≤

2m+1

m2

a∈[

4

5

，1]，
可得-

2

5

≤m≤2
又m＞1，
∴1＜m≤2m最大值为2
此时x∈[a+1，a+2]，有2a≤a+1＜3a≤a+2，
∴f（x）在[a+1，3a]内单调递增，在[3a，a+2]内单调递减，
∴f（x）_max=f（3a）=b；

点评：此题主要考查利用导数研究函数的单调性及其应用，这类题型是高考的热点问题，是一道中档题；