Question

已知函数f（x）=log_a（a^x-1）（a＞0且a≠1）．求证：
（1）函数f（x）的图象在y轴的一侧；
（2）函数f（x）图象上任意两点连线的斜率都大于0．

Answer 1

分析：（1）由a^x-1＞0得：a^x＞1，a＞1时，函数f（x）的图象在y轴的右侧；当0＜a＜1时，x＜0，函数f（x）的图象在y轴的左侧．所以函数f（x）的图象在y轴的一侧．
（2）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）是函数f（x）图象上任意两点，且x₁＜x₂，则直线AB的斜率k=

y1-y2

x1-x2

，y1-y2=loga(ax1-1)-loga(ax2-1)=loga

ax1-1

ax2-1

，再分a＞1和0＜a＜1两种情况分别进行讨论．

解答：证明：（1）由a^x-1＞0得：a^x＞1，
∴当a＞1时，x＞0，即函数f（x）的定义域为（0，+∞），
此时函数f（x）的图象在y轴的右侧；
当0＜a＜1时，x＜0，即函数f（x）的定义域为（-∞，0），
此时函数f（x）的图象在y轴的左侧．
∴函数f（x）的图象在y轴的一侧；

（2）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）是函数f（x）图象上任意两点，且x₁＜x₂，
则直线AB的斜率k=

y1-y2

x1-x2

，
y1-y2=loga(ax1-1)-loga(ax2-1)=loga

ax1-1

ax2-1

，
当a＞1时，由（1）知0＜x₁＜x₂，∴1＜ax1＜ax2，
∴0＜ax1-1＜ax2-1，
∴0＜

ax1-1

ax2-1

＜1，∴y₁-y₂＜0，又x₁-x₂＜0，∴k＞0；
当0＜a＜1时，由（1）知x₁＜x₂＜0，∴ax1＞ax2＞1，
∴ax1-1＞ax2-1＞0，
∴

ax1-1

ax2-1

＞1，∴y₁-y₂＜0，又x₁-x₂＜0，∴k＞0．
∴函数f（x）图象上任意两点连线的斜率都大于0．

点评：本题考查对数函数的性质和综合应用，解题时注意分类讨论思想的合理应用．