Question

（2009•青浦区二模）设数列{a_n}的前n和为S_n，已知S1=

1

3

，S2=

13

3

，S3=

16

3

，S4=

64

3

，一般地，Sn=

(n+1)2 12 + 4 3 (2n-1-1)，(当n为奇数时) n2 12 + 4 3 (2n-1)．(当n为偶数时)

（n∈N*）．
（1）求a₄；
（2）求a_2n；
（3）求和：a₁a₂+a₃a₄+a₅a₆+…+a_2n-1a_2n．

Answer 1

分析：（1）由a₄=S₄-S₃可求
（2）当n=2k时，（k∈N*）a2k=S2k-S2k-1=

(2k)2

12

+

4

3

(22k-1)-[

(2k)2

12

+

4

3

(22k-2-1)]=22k从而可求
（3）与（2）同理可求得：a2n-1=

1

3

(2n-1)，代入可得Tn=

1

3

[4+3×42+5×43+…+(2n-1)×4n]，利用错位相减的求和方法可求

解答：解：（1）a₄=S₄-S₃=

64

3

-

16

3

=16； …（3分）
（2）当n=2k时，（k∈N*）a2k=S2k-S2k-1=

(2k)2

12

+

4

3

(22k-1)-[

(2k)2

12

+

4

3

(22k-2-1)]=22k，…（6分）
所以，a_2n=4ⁿ（n∈N*）．   …（8分）
（3）与（2）同理可求得：a2n-1=

1

3

(2n-1)，…（10分）
设a₁a₂+a₃a₄+a₅a₆+…+a_2n-1a_2n=T_n，
则Tn=

1

3

[4+3×42+5×43+…+(2n-1)×4n]，
4Tn=

1

3

[42+3×43+5×44+…+(2n-1)×4n+1]，
相减得-3Tn=

1

3

[4+2(42+43+…+4n)-(2n-1)×4n+1]，
所以Tn=

2n-1

9

×4n+1-

32

27

×(4n-1-1)-

4

9

．                          …（15分）

点评：本题主要考查了利用递推公式求解数列的项，及错位相减求数列的和，这是数列求和方法的应用中的一个难点，要注意掌握．