Question

7．已知k为实数，函数f（x）=|x²-4|-x²-kx，x∈（0，4）．
（1）求关于x的方程f（x）=-kx-3在（0，4）上的解；
（2）若函数y=f（x）在（0，4）上有且仅有一个零点，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先将含有绝对值的函数转化为一元一次函数和二元一次函数的分段函数的形式，解方程即可；
（2）根据函数与方程的关系，利用参数分离法转化为两个函数的交点问题，结合分段函数的图象进行求解即可．

解答 解：（1）当0＜x＜2时，f（x）=|x²-4|-x²-kx=-（x²-4）-x²-kx=-2x²-kx+4，
当2≤＜x＜4时，f（x）=|x²-4|-x²-kx=（x²-4）-x²-kx=-kx-4，
即f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-2{x}^{2}-kx+4}&{0＜x＜2}\\{-kx-4}&{2≤x＜4}\end{array}\right.$，
关于x的方程f（x）=-kx-3在（0，4）上的解；
当0＜x＜2时，有-2x²-kx+4=-kx-3，即2x²=7，x²=$\frac{7}{2}$，
则x=$\sqrt{\frac{7}{2}}$=$\frac{\sqrt{14}}{2}$或x=-$\frac{\sqrt{14}}{2}$（舍），满足方程有解．
当2≤x＜4时，有-kx-4=-kx-3，即-4=-3，则方程不成立，
即此时方程无解，
综上方程f（x）=-kx-3在（0，4）上的解为$\frac{\sqrt{14}}{2}$．
（2）若函数y=f（x）在（0，4）上有且仅有一个零点，
等价为f（x）=|x²-4|-x²-kx=0，即kx=|x²-4|-x²，
则k=$\frac{|{x}^{2}-4|-{x}^{2}}{x}$在（0，4）上有且仅有一个根，
设g（x）=$\frac{|{x}^{2}-4|-{x}^{2}}{x}$，则g（x）=$\frac{|{x}^{2}-4|-{x}^{2}}{x}$=$\left\{\begin{array}{l}{4-2{x}^{2}}&{0＜x＜2}\\{-\frac{4}{x}}&{2≤x＜4}\end{array}\right.$，
作出函数g（x）的图象如图：
当0＜x＜2时，-4＜g（x）＜4，
当2≤x＜4时，-2≤g（x）＜-1，
要使k=g（x）在（0，4）上有且仅有一个根，
则-4＜k＜-2或-1≤k＜4，
故实数k的取值范围是-4＜k＜-2或-1≤k＜4．

点评 本题主要考查函数与方程的应用，根据绝对值表示为分段函数性质，利用函数与方程的关系，利用参数分离法转化为两个函数的交点个数问题是解决本题的关键．