Question

设矩阵M=

2 1 4 a

，如果关于x、y的方程组M

x y

=

1 6

没有实数解，那么矩阵M是否有非零特征值？如果有，求出这个特征值和对应的一个特征向量；如果没有，说明理由．

Answer 1

考点：特征值与特征向量的计算

专题：矩阵和变换

分析：本题可先将方程组M

x y

=

1 6

转化为普通方程组，然后求解，当解不存在时，得到a的值，再利用求出的a值，代入矩阵中，求出矩阵的特征多项式，解对应方程，求出特征值，如果有解，再代入方程中，求出它的一个特征向量．

解答： 解：∵矩阵M=

2 1 4 a

，
∴方程组M

x y

=

1 6

可化为：

2x+y=1 4x+ay=6

，
∴（a-2）y=4．
∵关于x、y的方程组M

x y

=

1 6

没有实数解，
∴a=2．
∴矩阵M=

2 1 4 2

．
∴矩阵M的特征多项式为：
f（λ）=

.

λ-2 -1 -4 λ-2

.

=（λ-2）²-4，
令f（λ）=0，
则（λ-2）²-4=0，λ=0或λ=4，
∴λ=4．
当λ=4时，

2x-y=0 -4x+2y=0

，
取x=1，则y=2，
特征向量

α

=

1 2

．

点评：本题考查的是矩阵的乘法、矩阵的特征值和特征向量，本题思维量适中，有一定计算量，属于中档题．