Question

已知函数f(x)=x³-bx²+2cx的导函数的图象关于直线x=2对称，
(Ⅰ)求b的值；
(Ⅱ)若函数f(x)无极值，求c的取值范围；
(Ⅲ)若f(x)在x=t处取得极小值，记此极小值为g(t)，求g(t)的定义域和值域。

Answer 1

解：(Ⅰ)f′(x)=3x²-2bx+2c，
∵函数f′(x)的图象关于直线x=2对称，
∴，即b=6．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)=x³-6x²+2cx，
f′(x)=3x²-12x+2c=3(x-2)²+2c-12，
当c≥6时，f′(x)≥0，此时f(x)无极值。
(Ⅲ)当c＜6时，f′(x)=0有两个互异实根x₁，x₂，
不妨设x₁＜x₂，则x₁＜2＜x₂，
当x＜x₁时，f′(x)＞0，f(x)在区间(-∞，x₁)内为增函数；
当x₁＜x＜x₂时，f′(x)＜0，f(x)在区间(x₁，x₂)内为减函数；
当x＞x₂时，f′(x)＞0，f(x)在区间(x₂，+∞)内为增函数，
所以f(x)在x=x₁处取极大值，在x=x₂处取极小值，
因此，当且仅当c＜6时，函数f(x)在x=x₂处存在唯一极小值，所以t=x₂＞2，
于是g(t)的定义域为(2，+∞)，
由f′(t)=3t²-12t+2c=0，得2c=-3t²+12t，
于是g(t)=f(t)=t³-6t²+(-3t²+12t)t=-2t³+6t²，t∈(2，+∞)，
当t＞2时，g′(t)=-6t²+12t=-6t(t-2)＜0，
所以函数g(t)在区间(2，+∞)内是减函数，故g(t)的值域为(-∞，8)。