Question

9．函数y=sinx（cosx-sinx），x∈R的值域是（　　）

• A． [-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]
• B． [$\frac{1-\sqrt{2}}{2}，\frac{1+\sqrt{2}}{2}$]
• C． [-$\frac{3}{2}，\frac{1}{2}$]
• D． [$\frac{-1-\sqrt{2}}{2}，\frac{-1+\sqrt{2}}{2}$]

Answer 1

分析 利用二倍角公式将函数化简成同名同角函数，利用三角函数的有界限求解值域即可．

解答 解：函数y=sinx（cosx-sinx）=sinxcosx-sin²x=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$cos2x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）$-\frac{1}{2}$．
∵-1≤sin（2x+$\frac{π}{4}$）≤1
∴$-\frac{\sqrt{2}}{2}$$-\frac{1}{2}$≤y≤$\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}$．
故选D．

点评 本题考查三角函数的有界性求解值域，考查转化思想以及计算能力．