Question

设椭圆C：（a＞b＞0）过点，且离心率．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点A（2，0）的动直线AB交椭圆于点M、N，（其中点N位于点A、B之间），且交直线l：x=8于点B（如图）．证明：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由已知，得，故可设所求椭圆方程为，将点的坐标代入上式，得m=1．由此得到所求椭圆C的方程．
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），要证原等式成立，只要证??5（x₁+x₂）-x₁x₂=16．
解答：解：（Ⅰ） 由已知，得 ，故可设所求椭圆方程为，
将点的坐标代入上式，得 m=1．
∴所求椭圆C的方程为：；（5分）
（Ⅱ） 设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
要证原等式成立，只要证??5（x₁+x₂）-x₁x₂=16．①（8分）
以下证明①式成立．
证明：设MB：y=k（x-2），由⇒（9+16k²）x²-64k²x+64k²-144=0
由韦达定理，得 ，，（11分）
∴=
于是，①式得证．
∴．（13分）
点评：本题考查椭圆方程的求法和证明．解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用和分析法证明的灵活运用．