Question

已知数列{a_n},{b_n}满足:a₁=1,a₂=k(k为常数且k≠0)，且b_n=a_n·a_n+1,n∈N₊.

(1)若{a_n}是等比数列，试求数列{b_n}的前n项和S_n的表达式；

（2）若{b_n}是等比数列，探求数列{a_n}是否为等比数列,并说明理由.

Answer 1

解析：（1）因为{a_n}是等比数列,a₁=1,a₂=k,所以k≠0,a_n=k^n-1.又b_n=a_n·a_n+1,所以b₁=a₁·a₂=k,，即{b_n}是以k为首项，k²为公比的等比数列，所以Sn=

（2）设{b_n}的公比为q,则又a₁=1,a₂=k(k≠0)，所以a₁,a₃,a₅,…,a_2n-1,…是以1为首项，q为公比的等比数列，a₂,a₄,a₆,…,a_2n,…是以k为首项，q为公比的等比数列，即{a_n}为1，k,q,kq,q²,kq²,…,q^n-1,kq^n-1,….当，即k²=q时，{a_n}为等比数列，当q≠k²时，{a_n}不为等比数列.