Question

海岛B上有一座海拔1000米的山，山顶A处设有一观测站，上午11时测得一轮船在海岛北偏东60°，俯角30°的C处；11时20分又测得该轮船在海岛北偏西60°，俯角60°的D处问：
（Ⅰ）此轮船的速度是多少？
（Ⅱ）如果轮船的航向和速度不变，它何时到达岛的正西方？

Answer 1

分析：（I）根据题中数据与位置关系，分别在Rt△ABC与Rt△ABD中算出BC、BD的长，然后在△BCD中利用余弦定理算出CD的长，即可得出此轮船的速度；
（II）延长CD，与正西线所在直线交于E，作DF∥CB于F，可得DF=DB，从而算出△EDF与△ECB的相似比等于

1

3

，得到DE=

1

2

CD=

39

6

，再由路程除以速度得到轮船从D到E所需的时间，即可得到轮船何时到达岛的正西方．

解答：解：（Ⅰ） 如图所示，由题意可得AB⊥BC且AB⊥BD，
∵∠ACB=∠DAB=30°，AB=1，
∴BC=

3

AB=

3

，BD=

AB

3

=

3

3

，
又∵△BCD中，∠CBD=120°，
∴由余弦定理，得CD2=3+

1

3

-2×

3

×

3

3

cos120°=

13

3

，解之得CD=

39

3

(km)，
∴此轮船的速度v=

39

3

÷

20

60

=

39

(km/h)．
（Ⅱ）延长CD，与正西线所在直线交于E，作DF∥CB于F，
则∠DFB=∠DBF=30°，可得DF=DB=

3

3

，
∴在△EBC中，

ED

EC

=

FD

BC

=

BD

BC

=

3 3

3

=

1

3

∴DE=

1

3

EC=

1

2

DC=

39

6

（km）
因此，轮船从D到E所需消耗的时间为：

39 6

39

=

1

6

小时，
即经过10分钟后，轮船到达岛的正西方，故此轮船在11时30分到达岛的正西方．

点评：本题给出实际应用问题，求轮船的行驶速度与行驶到岛的正西方所需的时间．着重考查了正余弦定理、直角三角形中三角函数的定义、相似三角形的判定与性质和解三角形的实际应用等知识，属于中档题．