Question

当x∈(0，

π

2

)时，函数f(x)=

sin2x(cos2x+2)+cos2x

sinxcosx

的最小值是

3

．

Answer 1

分析：由于函数的形式较复杂，不易判断最值在何处取到，故可先由三角函数公式对函数解析式进行化简，再根据化简后的形式判断其最值，由于函数最终化简为f(x)=

sin2x(cos2x+2)+cos2x

sinxcosx

=sin2x+

2

sin2x

，观察知，此函数不适合用基本不等式，故可令t=sin2x，将函数变为g(t)=t+

2

t

，由单调性求最值即可．

解答：解：由题意f(x)=

sin2x(cos2x+2)+cos2x

sinxcosx

=sin2x+

2

sin2x

令t=sin2x，则函数可变为g(t)=t+

2

t

，由于x∈(0，

π

2

)，可得2x∈（0，π），即t=sin2x∈[0，1]
由于g(t)=t+

2

t

在[0，1]上是减函数，故其最小值为1+2=3
所以当x∈(0，

π

2

)时，函数f(x)=

sin2x(cos2x+2)+cos2x

sinxcosx

的最小值是3
故答案为3

点评：本题考查求函数的最值，解题的关键是将函数解析式化简再由换元法将求三角函数的最值问题转化g(t)=t+

2

t

在[0，1]上的最值问题，本题用到了换元法的技巧，在求解较复杂的函数的最值问题时常用换元法将函数形式化简，以方便求解