Question

已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，且b=

3

，数列{a_n}是等比数列且首项a₁=

1

2

，公比为

sinA+sinC

a+c

．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=-

log2an

an

，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的通项公式,正弦定理

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由A，B，C成等差数列，可得2B=A+C，又A+B+C=π，可得B=

π

3

．由正弦定理可得

sinA+sinC

a+c

=

sinB

b

，可得数列{a_n}的公比，再利用通项公式即可得出．
（2）b_n=-

log2an

an

=n•2ⁿ，利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（1）∵A，B，C成等差数列，∴2B=A+C，又A+B+C=π，∴B=

π

3

．
由正弦定理可得

sinA+sinC

a+c

=

sinB

b

=

sin π 3

3

=

1

2

．
∴数列{a_n}的公比为

1

2

．
∴an=

1

2

×(

1

2

)n-1=(

1

2

)n．
（2）b_n=-

log2an

an

=n•2ⁿ，
∴数列{b_n}的前n项和S_n=2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，
2S_n=2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=

2(2n-1)

2-1

-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”、正弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．