Question

已知函数 f(x)=

1

2

x2-mlnx+(m-1)x，m∈R．
（Ⅰ）若函数 f（x）在x=2处有极值，求m 的值；
（Ⅱ）当 m≤0时，讨论函数 f（x）的单调性；
（Ⅲ）求证：当 m=-2时，对任意的 x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞-1．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由x=2是函数的一个极值点，可得到x=2是f′（x）=0的根，从而求出m；
（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），分类讨论m，判断f'（x）的符号，进而得到f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当 m=-2时，对任意的 x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，要证明

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞-1，
即证明f（x₁）-f（x₂）＞x₁-x₂，即证f（x₁）+x₁＜f（x₂）+x₂，
故我们可以构造辅助函数g（x）=f（x）+x，通过讨论辅助函数g（x）=f（x）+x的单调性证明结论．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=x-

m

x

+m-1
∵函数 f（x）在x=2处有极值∴f′(2)=2-

m

2

+m-1=0
∴m=-2，经检验m=-2符合题意．∴m=-2．
（Ⅱ）∵f′(x)=x-

m

x

+m-1=

x2+(m-1)x-m

x

=

(x-1)(x+m)

x

∴（1）当-1＜m≤0时，若x∈（0，-m）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
当x∈（-m，1）时，f'（x）＜0，f（x）为减函数；
当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数．
（2）当m=-1时，f′(x)=

(x-1)2

x

≥0，f（x）在（0，+∞）上为增函数．
（3）当m＜-1即-m＞1时，x∈（0，1）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；
当x∈（1，-m）时，f'（x）＜0，f（x）为减函数；
当x∈（-m，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数．
（Ⅲ）当m=-2时，函数f（x）=

1

2

x2+2lnx-3x．
构造辅助函数g（x）=f（x）+x，并求导得
g'（x）=x+

2

x

-2=

x2-2x+2

x

=

(x-1)2+1

x

∴g'（x）＞0，g（x）为增函数．
∴对任意0＜x₁＜x₂，都有g（x₁）＜g（x₂）成立，
即f（x₁）+x₁＜f（x₂）+x₂．
即f（x₁）-f（x₂）＞x₁-x₂．
又∵x₁-x₂＜0，
∴

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞-1（14分）

点评：本题考查导数的综合应用，函数单调性的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想和分类讨论思想的合理运用．