【题目】(题文)已知函数,其中
为正实数.
(1)若函数在
处的切线斜率为2,求
的值;
(2)求函数的单调区间;
(3)若函数有两个极值点
,求证:
【答案】(1)1;(2)见解析;(3)见解析
【解析】试题分析:(1)根据导数几何意义得,解得
的值;(2)先求导数,再根据导函数是否变号分类讨论,最后根据导函数符号确定单调区间(3)先根据韦达定理得
,再化简
,进而化简所证不等式为
,最后利用导函数求函数
单调性,进而确定最小值,证得结论
试题解析:(1)因为,所以
,
则,所以
的值为1.
(2) ,函数
的定义域为
,
若
,即
,则
,此时
的单调减区间为
;
若
,即
,则
的两根为
,
此时的单调减区间为
,
,
单调减区间为.
(3)由(2)知,当时,函数
有两个极值点
,且
.
因为
要证,只需证
.
构造函数,则
,
在
上单调递增,又
,且
在定义域上不间断,
由零点存在定理,可知在
上唯一实根
, 且
.
则在
上递减,
上递增,所以
的最小值为
.
因为,
当时,
,则
,所以
恒成立.
所以,所以
,得证.
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【题目】某商场举行促销活动,有两个摸奖箱,箱内有一个“
”号球,两个“
”号球,三个“
”号球、四个无号球,
箱内有五个“
”号球,五个“
”号球,每次摸奖后放回,每位顾客消费额满
元有一次
箱内摸奖机会,消费额满
元有一次
箱内摸奖机会,摸得有数字的球则中奖,“
”号球奖
元,“
”号球奖
元,“
”号球奖
元,摸得无号球则没有奖金。
(1)经统计,顾客消费额服从正态分布
,某天有
位顾客,请估计消费额
(单位:元)在区间
内并中奖的人数.(结果四舍五入取整数)
附:若,则
,
.
(2)某三位顾客各有一次箱内摸奖机会,求其中中奖人数
的分布列.
(3)某顾客消费额为元,有两种摸奖方法,
方法一:三次箱内摸奖机会;
方法二:一次箱内摸奖机会.
请问:这位顾客选哪一种方法所得奖金的期望值较大.
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【题目】已知函数f(x)=lnx+x2﹣2ax+1(a为常数)
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若对任意的a∈(1, ),都存在x0∈(0,1]使得不等式f(x0)+lna>m(a﹣a2)成立,求实数m的取值范围.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,曲线与x轴交于不同的两点A,B,曲线Γ与y轴交于点C.
(1)是否存在以AB为直径的圆过点C?若存在,求出该圆的方程;若不存在,请说明理由;
(2)求证:过A,B,C三点的圆过定点,并求出该定点的坐标.
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【题目】设函数f(x)=lnx﹣ax,g(x)=ex﹣ax,其中a为实数.
(1)若f(x)在(1,+∞)上是单调减函数,且g(x)在(1,+∞)上有最小值,求a的取值范围;
(2)若g(x)在(﹣1,+∞)上是单调增函数,试求f(x)的零点个数,并证明你的结论.
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【题目】某学校研究性学习小组调查学生使用智能手机对学习成绩的影响,部分统计数据如下表:
使用智能手机 | 不使用智能手机 | 总计 | |
学习成绩优秀 | 4 | 8 | 12 |
学习成绩不优秀 | 16 | 2 | 18 |
总计 | 20 | 10 | 30 |
(Ⅰ)根据以上列联表判断,能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为使用智能手机对学习成绩有影响?
(Ⅱ)从学习成绩优秀的12名同学中,随机抽取2名同学,求抽到不使用智能手机的人数的分布列及数学期望.
参考公式:,其中
参考数据:
0.05 | 0,。025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】如图所示的五个区域中,中心区域是一幅图画,现要求在其余四个区域中涂色,有四种颜色可供选择.要求每个区域只涂一种颜色且相邻区域所涂颜色不同,则不同的涂色方法种数为( )
A. 56 B. 72 C. 64 D. 84
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【题目】设函数f(x)=ax+bx﹣cx , 其中c>a>0,c>b>0.
(1)记集合M={(a,b,c)|a,b,c不能构成一个三角形的三条边长,且a=b},则(a,b,c)∈M所对应的f(x)的零点的取值集合为 .
(2)若a,b,c是△ABC的三条边长,则下列结论正确的是 . (写出所有正确结论的序号)
①x∈(﹣∞,1),f(x)>0;
②x∈R,使ax , bx , cx不能构成一个三角形的三条边长;
③若△ABC为钝角三角形,则x∈(1,2),使f(x)=0.
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【题目】某网站从春节期间参与收发网络红包的手机用户中随机抽取10000名进行调查,将受访用户按年龄分成5组:并整理得到如下频率分布直方图:
(1)求的值;
(2)从春节期间参与收发网络红包的手机用户中随机抽取一人,估计其年龄低于40岁的概率;
(3)估计春节期间参与收发网络红包的手机用户的平均年龄。
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