Question

【题目】如图，在直棱柱中，，，，，.

（1）求异面直线与所成的角的余弦值；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）以为坐标原点建立空间直角坐标系，设出长度，根据，求得长度，

再求出的方向向量，以及向量夹角的余弦值，即可容易求得；

（2）根据（1）中所求点的坐标，求得直线的方向向量，以及平面的法向量，即可用向量法求得线面夹角.

（1）易知，，两两垂直，建立如下所示空间直角坐标系.

设，则各点的坐标为：

，，，，，，.

从而，.

因为，所以.

解得：或（舍去）

∴，而

异面直线与所成角的余弦值为.

（2）由（1）可知，，，.

设是平面的一个法向量，

则：即令，则.

设直线与平面所成角为，

则：

直线与平面所成角的正弦值为.