【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,点E是棱PD的中点,点F是PC的中点F.
(1)证明:PB∥平面AEC;
(2)若ABCD为正方形,探究在什么条件下,二面角C﹣AF﹣D大小为60°?
【答案】
(1)证明:连接BD,设AC∩BD=O,连结OE,
∵四边形ABCD为矩形,
∴O是BD的中点,
∵点E是棱PD的中点,
∴PB∥EO,
又PB平面AEC,EO平面AEC,
∴PB∥平面AEC.
(2)解:由题意知AD,AB,AP两两垂直,建立如图所示空间直角坐标系A﹣xyz,
设AB=2a,AD=2b,AP=2c,
则A(0,0,0),B(2a,0,0),C(2a,2b,0),D(0,2b,0),P(0,0,2c).
设AC∩BD=O,连结OE,则O(a,b,0),E(0,b,c).
因为 ,
,
所以 ,所以
∥
,a=b,A(0,0,0),B(2a,0,0),
C(2a,2a,0),D(0,2a,0),P(0,0,2c),E(0,a,c),F(a,a,c),
因为z轴平面CAF,所以设平面CAF的一个法向量为 =(x,1,0),
而 ,所以
=2ax+2a=0,得x=﹣1,所以
=(﹣1,1,0).
因为y轴平面DAF,所以设平面DAF的一个法向量为 =(1,0,z),
而 ,所以
=a+cz=0,得
,
所以 =(1,0,﹣
)∥
=(c,0,﹣a).
cos60°= =
,得a=c.
即当AP等于正方形ABCD的边长时,二面角C﹣AF﹣D的大小为60°.
【解析】(1)连接BD,设AC∩BD=O,连结OE,则PB∥EO,由此能证明PB∥平面AEC.(2)由题意知AD,AB,AP两两垂直,建立空间直角坐标系A﹣xyz,利用向量法能求出当AP等于正方形ABCD的边长时,二面角C﹣AF﹣D的大小为60°.
【考点精析】掌握直线与平面平行的判定是解答本题的根本,需要知道平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;简记为:线线平行,则线面平行.
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【题目】在四面体ABCD中,过棱AB的上一点E作平行于AD,BC的平面分别交四面体的棱BD,DC,CA于点F,G,H
(1)求证:截面EFGH为平行四边形
(2)若P、Q在线段BD、AC上,,且P、F不重合,证明:PQ∥截面EFGH
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【题目】如图,已知四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形,∠BCD=120°,AB=PC=2,AP=BP= .
(1)求证:AB⊥PC;
(2)求侧面BPC与侧面DPC所成的锐二面角的余弦值.
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【题目】定义在上的函数
,如果满足:对任意
,存在常数
,都有
成立,则称
是
上的有界函数,其中
称为函数
的一个上界.已知函数
,
.
(1)若函数为奇函数,求实数
的值;
(2)在(1)的条件下,求函数在区间
上的所有上界构成的集合;
(3)若函数在
上是以5为上界的有界函数,求实数
的取值范围.
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【题目】△ABC中,a.b.c分别为∠A.∠B.∠C的对边,如果a.b.c成等差数列,∠B=30°,△ABC的面积为 ,那么b等于( )
A.
B.1+
C.
D.2+
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【题目】直角坐标系xOy平面内,已知动点M到点D(﹣4,0)与E(﹣1,0)的距离之比为2.
(1)求动点M的轨迹C的方程;
(2)是否存在经过点(﹣1,1)的直线l,它与曲线C相交于A,B两个不同点,且满足 (O为坐标原点)关系的点M也在曲线C上,如果存在,求出直线l的方程;如果不存在,请说明理由.
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【题目】定义在上的函数
,如果满足:对任意
,存在常数
,都有
成立,则称
是
上的有界函数,其中
称为函数
的一个上界.已知函数
,
.
(1)若函数为奇函数,求实数
的值;
(2)在(1)的条件下,求函数在区间
上的所有上界构成的集合;
(3)若函数在
上是以3为上界的有界函数,求实数
的取值范围.
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【题目】已知椭圆过点
,离心率为
.若
是椭圆
上的不同的两点,
的面积记为
.
(I)求椭圆的方程;
(II)设直线的方程为
,
,
,求
的值;
(III)设直线,
的斜率之积等于
,试证明:无论
如何移动,面积
保持不变.
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