Question

【题目】直角坐标系xOy平面内，已知动点M到点D（﹣4，0）与E（﹣1，0）的距离之比为2．
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）是否存在经过点（﹣1，1）的直线l，它与曲线C相交于A，B两个不同点，且满足 （O为坐标原点）关系的点M也在曲线C上，如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：设M（x，y），则 ， ，

依题意， ，

化简整理，得x2+y2=4，

∴曲线c的方程为x2+y2=4．

（2）解：假设直线l存在，设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）

①若直线l的斜率存在，设直线l的方程为：y﹣1=k（x+1）．

联立 消去y得，（1+k2）x2+2k（k+1）x+k2+2k﹣3=0，

由韦达定理得， = ， = ， = ．

∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在圆c上，

∴ ， ．

由 得， ， ．

由于点M也在圆c上，则 ，

整理得， + ，

即x1x2+y1y2=0，所以 + ，

从而得，k2﹣2k+1=0，即k=1，因此，直线l的方程为y﹣1=x+1，即x﹣y+2=0；

②若直线l的斜率不存在，则A（﹣1， ），B（﹣1，- ）， ，故此时点M不在曲线c上，

综上所知：k=1，直线方程为x﹣y+2=0．

【解析】（1）设出M点的坐标，由题目条件即可得出动点M的轨迹C的方程；（2）讨论直线l的斜率是否存在，由韦达定理，根据题目条件进行计算即可．