Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点D．

（1）求证：CE2=CDCB．
（2）若AB=2，BC= ，求CE与CD的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图示：

连接BE，

∵BC为⊙O的切线∴∠ABC=90°，

∵AB为⊙O的直径∴∠AEB=90°，

∴∠DBE+∠OBE=90°，∠AEO+∠OEB=90°，

∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB∴∠DBE=∠AEO，

∵∠AEO=∠CED∴∠CED=∠CBE，

∵∠C=∠C∴△CED∽△CBE，

∴ = ，∴CE2=CDCB；

（2）解：∵OB=1，BC= ，∴OC= ，

∴CE=OC﹣OE= ，

由（Ⅰ）得：CE2=CDCB，

∴ = CD，

∴CD= ．

【解析】（1）要证CE2=CDCB，结合题意，只需证明△CED∽△CBE即可，故连接BE，利用弦切角的知识即可得证；（2）在Rt三△OBC中，利用勾股定理即可得出CE的长，由（1）知，CE2=CDCB，代入CE即可得出CD的长．