Question

4．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_n=2a_n+n，且b_n=$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）利用a_n+1=S_n+1-S_n化简可知a_n+1=2a_n-1，变形可知a_n+1-1=2（a_n-1），进而可知数列{a_n-1}是以-2为首项、2为公比的等比数列，计算即得结论；
（2）通过（1）裂项可知b_n=$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n}-1}$，并项相加即得结论．

解答 解：（1）解：由S_n=2a_n+n得：S_n+1=2a_n+1+n+1，
∴a_n+1=S_n+1-S_n=2a_n+1-2a_n+1，即a_n+1=2a_n-1，
∴a_n+1-1=2（a_n-1），
∵S₁=2a₁+1，
∴a₁=-1，a₁-1=-2≠0，
∴数列{a_n-1}是以-2为首项、2为公比的等比数列，
∴a_n-1=-2ⁿ，a_n=1-2ⁿ；
（2）由（1）知b_n=$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1-{2}^{n}-1}{（1-{2}^{n}）（1-{2}^{n+1}）}$=$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n}-1}$，
∴T_n=-[（$\frac{1}{2-1}$-$\frac{1}{{2}^{2}-1}$）+（$\frac{1}{{2}^{2}-1}$-$\frac{1}{{2}^{3}-1}$）+…+（$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$）]
=$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$-1．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，考查裂项相消法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．