Question

【题目】已知函数.

（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求实数的值；

（2）若上存在一点，使得成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）将的解析式代入曲线，根据导数几何意义及垂直直线的斜率关系即可求得的值；

（2）将代入导函数，并代入不等式中化简变形，构造函数，求得并令，对分类讨论即可确定满足题意的的取值范围.

（1）由，

得.在处的切线斜率为，

直线的斜率为，

由垂直直线的斜率关系可知，

解得.

（2），

则，

不等式等价于.

整理得.

构造函数，

由题意知，在上存在一点，使得.

.

因为，所以，令，得.

①当，即时，在上单调递增.只需，解得.

②当即时，在处取最小值.

令即，

可得.

令，即，不等式（*）可化为：

因为，所以不等式左端大于1，右端小于等于1，所以不等式不能成立.

③当，即时，在上单调递减，

只需，解得.

综上所述，实数的取值范围是.