【题目】如图,在P地正西方向8km的A处和正东方向1km的B处各有一条正北方向的公路AC和BD,现计划在AC和BD路边各修建一个物流中心E和F,为缓解交通压力,决定修建两条互相垂直的公路PE和PF,设
Ⅰ
为减少对周边区域的影响,试确定E,F的位置,使
与
的面积之和最小;
Ⅱ
为节省建设成本,求使
的值最小时AE和BF的值.
【答案】(1) 当km,
km时,
与
的面积之和最小.
(2) 当为
,且
为
时,
的值最小.
【解析】
试题分析:(1)用角表示
,从而表示三角形
的面积,求出面积之和用基本不等式求最小值,求出等号成立时的
,即可确定
的位置;
(2) 用角表示
,构建函数
,用导数与最值的关系求之即可.
试题解析:(1)在Rt△PAE中,由题意可知,AP=8,则
.
所以. 2分
同理在Rt△PBF中,,PB=1,则
,
所以. 4分
故△PAE与△PFB的面积之和为5分
=8,
当且仅当,即
时,取“=”,
故当km,
km时,
与
的面积之和最小. 6分
(2)在Rt△PAE中,由题意可知,则
.
同理在Rt△PBF中,,则
.
令,
, 8分
则, 10分
令,得
,记
,
,
当时,
,
单调减;
当时,
,
单调增.
所以时,
取得最小值, 12分
此时,
.
所以当km,且
km时,PE+PF的值最小. 14分
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【题目】已知圆M的方程为x2+y2-2x-2y-6=0,以坐标原点O为圆心的圆O与圆M相切.
(1)求圆O的方程;
(2)圆O与x轴交于E,F两点,圆O内的动点D使得DE,DO,DF成等比数列,求的取值范围.
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【题目】如图,已知椭圆C: (a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,若椭圆C经过点(0,
),离心率为
,直线l过点F2与椭圆C交于A、B两点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若点N为△F1AF2的内心(三角形三条内角平分线的交点),求△F1NF2与△F1AF2面积的比值;
(3)设点A,F2,B在直线x=4上的射影依次为点D,G, E.连结AE,BD,试问当直线l的倾斜角变化时,直线AE与BD是否相交于定点T?若是,请求出定点T的坐标;若不是,请说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系中,以
为极点,
轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
;直线
的参数方程为
(
为参数),直线
与曲线
分别交于
,
两点.
(1)写出曲线的直角坐标方程和直线
的普通方程;
(2)若点的极坐标为
,
,求
的值.
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【题目】(本小题满分10分)一位网民在网上光顾某淘宝小店,经过一番浏览后,对该店铺中的五种商品有购买意向.已知该网民购买
两种商品的概率均为
,购买
两种商品的概率均为
,购买
种商品的概率为
.假设该网民是否购买这五种商品相互独立.
(1)求该网民至少购买4种商品的概率;
(2)用随机变量表示该网民购买商品的种数,求
的概率分布和数学期望.
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【题目】某同学在研究函数f(x)=(x∈R)时,分别给出下面几个结论:
①等式f(-x)=-f(x)在x∈R时恒成立;
②函数f(x)的值域为(-1,1);
③若x1≠x2,则一定有f(x1)≠f(x2);
④方程f(x)=x在R上有三个根.
其中正确结论的序号有______.(请将你认为正确的结论的序号都填上)
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