【题目】已知函数.
(1)令,判断g(x)的单调性;
(2)当x>1时,,求a的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)求出,分两种情况讨论
的范围,在定义域内,分别令
求得
的范围,可得函数
增区间,
求得
的范围,可得函数
的减区间;(2)讨论
的范围,分别利用导数以及函数的单调性,结合单调性判断函数
是否有最大值,当函数
有最大值时,令其最大值小于零即可求得
的范围.
(1)由,则
,
所以(x>0).
①当a≤0时,,
为
的减函数;
②当a>0时,
若,即
时,
,
为
的减函数;
若,即
时,由
有两根
得
在上
,
为减函数;在
上
,
为增函数;
在上
,
为减函数.
综上:当时,
为
的减函数;
当时,在
上
,
为减函数;在
上
,
为增函数;在
上
,
为减函数.
(2)由(1)知,对a讨论如下,
①当a≤0时,,则
为(1,+∞)上的减函数,
则,故
为(1,+∞)的减函数,
由于,所以
,即a≤0时满足题意.
②当a>0时,由于,对其讨论如下:
(A)若,即a≤1,则由(1)知,
为(1,+∞)上的减函数,
则,所以
为(1,+∞)的减函数,
由于,所以
,即0<a≤1时满足题意.
(B)若,即a>1,则由(1)知,
当时,
为(1,+∞)上的减函数,又
,
所以存在,使得在
时,
,于是
为
的增函数,
因为,
所以,即1<a≤
时不满足题意.
当时,由于
,所以对
与1的大小关系讨论如下,
1)如果,即
,那么由(1)知,
为(1,+∞)上的减函数,
又,
则存在,使得在
时,
,于是
为
的增函数,
又,则
,即
时不满足题意.
2)如果,即
,那么由(1)知,
为(1,
)上的增函数,
则当时,
,于是
为
的增函数,
又,则
,即
时不满足题意.
综上所述,a的取值范围为.
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【题目】汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是( )
A. 消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米
B. 以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多
C. 甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油
D. 某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油
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【题目】2018年8月18日,举世瞩目的第18届亚运会在印尼首都雅加达举行,为了丰富亚运会志愿者的业余生活,同时鼓励更多的有志青年加入志愿者行列,大会主办方决定对150名志愿者组织一次有关体育运动的知识竞赛(满分120分)并计划对成绩前15名的志愿者进行奖励,现将所有志愿者的竞赛成绩制成频率分布直方图,如图所示,若第三组与第五组的频数之和是第二组的频数的3倍,试回答以下问题:
(1)求图中的值;
(2)求志愿者知识竞赛的平均成绩;
(3)从受奖励的15人中按成绩利用分层抽样抽取5人,再从抽取的5人中,随机抽取2人在主会场服务,求抽取的这2人中其中一人成绩在分的概率.
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【题目】某市将举办2020年新年大型花卉展览活动,举办方将建一块占地10000平方米的矩形展览场地ABCD,设计要求该场地的任何一边长度不得超过200米.场地中间设计三个矩形展览花圃①,②,③,其中花圃②与③是全等的矩形,每个花圃周围均是宽为5米的赏花路径.其中①号花圃的一边长度为25米.如图所示,设三个花圃占地总面积为S平方米,矩形展览场地的BC长为x米.
(1)试将S表示为x的函数,并写出定义域;
(2)问应该如何设计矩形场地的边长,使花圃占地总面积S取得最大值.
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【题目】如图,在P地正西方向8km的A处和正东方向1km的B处各有一条正北方向的公路AC和BD,现计划在AC和BD路边各修建一个物流中心E和F,为缓解交通压力,决定修建两条互相垂直的公路PE和PF,设
Ⅰ
为减少对周边区域的影响,试确定E,F的位置,使
与
的面积之和最小;
Ⅱ
为节省建设成本,求使
的值最小时AE和BF的值.
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【题目】在平面直角坐标系中,直线
的的参数方程为
(其中
为参数),以坐标原点
为极点,
轴的正半轴为极轴的极坐标系中,点
的极坐标为
,直线
经过点
.曲线
的极坐标方程为
.
(1)求直线的普通方程与曲线
的直角坐标方程;
(2)过点作直线
的垂线交曲线
于
两点(
在
轴上方),求
的值.
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【题目】如图是一个“蝴蝶形图案(阴影区域)”,其中是过抛物线
的两条互相垂直的弦(点
在第二象限),且
交于点
,点
为
轴上一点,
,其中
为锐角
(1)设线段的长为
,将
表示为关于
的函数
(2)求“蝴蝶形图案”面积的最小值,并指出取最小值时的大小
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【题目】已知定义域为的函数
在
上有最大值1,设
.
(1)求的值;
(2)若不等式在
上恒成立,求实数
的取值范围;
(3)若函数有三个不同的零点,求实数
的取值范围(
为自然对数的底数).
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