【题目】已知定义域为的函数
在
上有最大值1,设
.
(1)求的值;
(2)若不等式在
上恒成立,求实数
的取值范围;
(3)若函数有三个不同的零点,求实数
的取值范围(
为自然对数的底数).
【答案】(1)0;(2);(3)
【解析】
(1)结合二次函数的性质 可判断g(x)在[1,2]上的单调性,结合已知函数的最大值可求m;(2)由(1)可知f(x),由原不等式可知2k1在x∈[3,9]上恒成立,结合对数与二次函数的性质可求;(3)原方程可化为|ex﹣1|2﹣(3k+2)|ex﹣1|+(2k+1)=0,利用换元q=|ex﹣1|,结合二次函数的 实根分布即可求解.
(1)因为在
上是增函数,
所以,解得
.
(2)由(1)可得:
所以不等式在
上恒成立.
等价于在
上恒成立
令,因为
,所以
则有在
恒成立
令,
,则
所以,即
,所以实数
的取值范围为
.
(3)因为
令,由题意可知
令,
则函数有三个不同的零点
等价于在
有两个零点,
当 ,此时方程
,此时关于
方程有三个零点,符合题意;
当 记为
,
,且
,
,
所以,解得
综上实数的取值范围
.
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【题目】在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(其中
为参数),曲线
,以坐标原点
为极点,以
轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线的普通方程和曲线
的极坐标方程;
(2)若射线与曲线
,
分别交于
两点,求
.
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【题目】记[x]为不超过实数x的最大整数,例如,[2]=2,[1.5]=1,[﹣0.3]=﹣1.设a为正整数,数列{xn}满足x1=a, ,现有下列命题:
①当a=5时,数列{xn}的前3项依次为5,3,2;
②对数列{xn}都存在正整数k,当n≥k时总有xn=xk;
③当n≥1时, ;
④对某个正整数k,若xk+1≥xk , 则 .
其中的真命题有 . (写出所有真命题的编号)
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【题目】如图,在三棱锥P﹣ABC中,∠APB=90°,∠PAB=60°,AB=BC=CA,平面PAB⊥平面ABC.
(1)求直线PC与平面ABC所成角的大小;
(2)求二面角B﹣AP﹣C的大小.
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【题目】已知a为正实数,n为自然数,抛物线 与x轴正半轴相交于点A,设f(n)为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距.
(1)用a和n表示f(n);
(2)求对所有n都有 成立的a的最小值;
(3)当0<a<1时,比较 与
的大小,并说明理由.
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【题目】“节约用水”自古以来就是中华民族的优良传统.某市统计局调查了该市众多家庭的用水量情况,绘制了月用水量的频率分布直方图,如下图所示.将月用水量落入各组的频率视为概率,并假设每天的用水量相互独立.
(l)求在未来连续3个月里,有连续2个月的月用水量都不低于12吨且另1个月的月用水量低于4吨的概率;
(2)用表示在未来3个月里月用水量不低于12吨的月数,求随杌变量
的分布列及数学期望
.
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【题目】如图1,点为正方形
边
上异于点
的动点,将
沿
翻折,得到如图2所示的四棱锥
,且平面
平面
,点
为线段
上异于点
的动点,则在四棱锥
中,下列说法正确的有( )
A. 直线与直线
必不在同一平面上
B. 存在点使得直线
平面
C. 存在点使得直线
与平面
平行
D. 存在点使得直线
与直线
垂直
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【题目】已知函数f (x)=x2,g(x)=x-1.
(1)若存在x∈R使f(x)<b·g(x),求实数b的取值范围;
(2)设F(x)=f(x)-mg(x)+1-m-m2,且|F(x)|在上单调递增,求实数m的取值范围.
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