Question

【题目】记[x]为不超过实数x的最大整数，例如，[2]=2，[1.5]=1，[﹣0.3]=﹣1．设a为正整数，数列{xn}满足x1=a， ，现有下列命题：
①当a=5时，数列{xn}的前3项依次为5，3，2；
②对数列{xn}都存在正整数k，当n≥k时总有xn=xk；
③当n≥1时， ；
④对某个正整数k，若xk+1≥xk ， 则 ．
其中的真命题有 ． （写出所有真命题的编号）

Answer 1

【答案】①③④
【解析】解：①当a=5时，x1=5，
，
，
∴①正确．
②当a=8时，x1=8，




∴此数列从第三项开始为3，2，3，2，3，2…为摆动数列，故②错误；
③当n=1时，x1=a，∵a﹣（ ）= ＞0，∴x1=a＞ 成立，
假设n=k时， ，
则n=k+1时， ，
∵ ≥ ≥ = （当且仅当xk= 时等号成立），
∴ ＞ ，
∴对任意正整数n，当n≥1时， ；③正确；
④ ≥xk ，
由数列①②规律可知 一定成立
故正确答案为①③④
【考点精析】解答此题的关键在于理解命题的真假判断与应用的相关知识，掌握两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．