小题5分.第小题8分) 设数列是等差数列.且公差为.若数列中任意两项之和仍是该数列中的一项.则称该数列是“封闭数列 . (1)若.求证:该数列是“封闭数列 , (2)试判断数列是否是“封闭数列 .为什么? (3)设是数列的前项和.若公差.试问:是否存在这样的“封闭数列 .使,若存在.求的通项公式.若不存在.说明理由. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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（本题满分18分；第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题8分）

设数列是等差数列，且公差为，若数列中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.

（1）若，求证：该数列是“封闭数列”；

（2）试判断数列是否是“封闭数列”，为什么？

（3）设是数列的前项和，若公差，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使；若存在，求的通项公式，若不存在，说明理由.

略

解析:

（1）证明：，--------------------------------------------1分

对任意的，有

，---------------------------------------------3分

于是，令，则有-------------------------5分（2），---------------------------------------------------------7分

令，-----------------------------------------9分

所以数列不是封闭数列；---------------------------------------------------10分

（3）解：由是“封闭数列”，得：对任意，必存在使

成立，----------------------------------------------------11分

于是有为整数，又是正整数。-------------------------------13分

若则，所以，-----------------------14分

若，则，所以，------------------------16分

若，则，于是

，所以，------------------------------------------17分

综上所述，，显然，该数列是“封闭数列”。---------------- 18分

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在平行四边形中，已知过点的直线与线段分别相交于点。若。

（1）求证：与的关系为；

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（1）设数列满足（），（不同时为0），且数列是周期为的周期数列，求常数的值；
（2）设数列的前项和为，且．
①若，试判断数列是否为周期数列，并说明理由；
②若，试判断数列是否为周期数列，并说明理由；
（3）设数列满足（），，，，数列的前项和为，试问是否存在，使对任意的都有成立，若存在，求出的取值范围；不存在，说明理由；