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(本题满分18分;第(1)小题5分,第(2)小题5分,第(3)小题8分)

设数列是等差数列,且公差为,若数列中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项,则称该数列是“封闭数列”.

(1)若,求证:该数列是“封闭数列”;

(2)试判断数列是否是“封闭数列”,为什么?

(3)设是数列的前项和,若公差,试问:是否存在这样的“封闭数列”,使;若存在,求的通项公式,若不存在,说明理由.


解析:

(1)证明:,--------------------------------------------1分

对任意的,有

,---------------------------------------------3分

于是,令,则有-------------------------5分(2),---------------------------------------------------------7分

,-----------------------------------------9分

所以数列不是封闭数列;---------------------------------------------------10分

(3)解:由是“封闭数列”,得:对任意,必存在使

成立,----------------------------------------------------11分

于是有为整数,又是正整数。-------------------------------13分

,所以,-----------------------14分

,则,所以,------------------------16分

,则,于是

,所以,------------------------------------------17分

综上所述,,显然,该数列是“封闭数列”。---------------- 18分

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(本题满分18分,第(1)小题4分,第(2)小题6分,第(3)小题8分)
对于数列,如果存在一个正整数,使得对任意的)都有成立,那么就把这样一类数列称作周期为的周期数列,的最小值称作数列的最小正周期,以下简称周期。例如当是周期为的周期数列,当是周期为的周期数列。
(1)设数列满足),不同时为0),且数列是周期为的周期数列,求常数的值;
(2)设数列的前项和为,且
①若,试判断数列是否为周期数列,并说明理由;
②若,试判断数列是否为周期数列,并说明理由;
(3)设数列满足),,数列的前项和为,试问是否存在,使对任意的都有成立,若存在,求出的取值范围;不存在,   说明理由;

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(本题满分18分,第(1)小题4分,第(2)小题6分,第(3)小题8分)

对于数列,如果存在一个正整数,使得对任意的)都有成立,那么就把这样一类数列称作周期为的周期数列,的最小值称作数列的最小正周期,以下简称周期。例如当是周期为的周期数列,当是周期为的周期数列。

    (1)设数列满足),不同时为0),且数列是周期为的周期数列,求常数的值;

    (2)设数列的前项和为,且

①若,试判断数列是否为周期数列,并说明理由;

②若,试判断数列是否为周期数列,并说明理由;

    (3)设数列满足),,数列 的前项和为,试问是否存在,使对任意的都有成立,若存在,求出的取值范围;不存在,    说明理由;

 

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科目:高中数学 来源:2011-2012学年上海市十三校高三上学期第一次联考试题文科数学 题型:解答题

  (本题满分18分,第1小题满分5分,第2小题满分5分,第3小题满分8分)

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设数列是等差数列,且公差为,若数列中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项,则称该数列是“封闭数列”.

(1)若,求证:该数列是“封闭数列”;

(2)试判断数列是否是“封闭数列”,为什么?

(3)设是数列的前项和,若公差,试问:是否存在这样的“封闭数列”,使;若存在,求的通项公式,若不存在,说明理由.

 

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