Question

6．已知$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{π}{3}$x，sin$\frac{π}{3}$x），$\overrightarrow{b}$=A（cos2φ，-sin2φ），f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$（A＞0，|φ|$＜\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示，P、Q分别是该图象的最高点和最低点，点P的坐标为（1，A），点R的坐标为（1，0），△PRQ的面积为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
（Ⅰ）求A及φ的值；
（Ⅱ）将f（x）的图象向左平移2个单位长度后得到函数g（x）的图象，求函数g（x）的单调减区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件利用两个向量的数量积公式，求得f（x）的解析式，再依据函数的周期性以及△PRQ的面积，求得A及φ的值．
（Ⅱ）由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再根据余弦函数的减区间求得函数g（x）的单调减区间．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=Acos$\frac{π}{3}$xcos2φ-Asin$\frac{π}{3}$xsin2φ=Acos（$\frac{π}{3}$x+2φ），
故f（x）的周期为T=$\frac{2π}{\frac{π}{3}}$=6，根据△PRQ的面积为$\frac{1}{2}$×A×$\frac{T}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，求得A=$\sqrt{3}$，
∴点P（1，$\sqrt{3}$），把点P的坐标代入函数f（x）的解析式可得Acos（$\frac{π}{3}$+2φ）=1，
故$\frac{π}{3}$+2φ=2kπ，k∈z，即 φ=kπ-$\frac{π}{6}$，结合|φ|$＜\frac{π}{2}$，可得φ=-$\frac{π}{6}$，故 f（x）=$\sqrt{3}$cos（$\frac{π}{3}$x-$\frac{π}{3}$）．
（Ⅱ）将f（x）的图象向左平移2个单位长度后得到函数g（x）=$\sqrt{3}$cos[$\frac{π}{3}$（x+2）-$\frac{π}{3}$]=$\sqrt{3}$cos（$\frac{π}{3}$x+$\frac{π}{3}$）的图象．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤$\frac{π}{3}$x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈z，求得6k-1≤x≤6k+2，可得g（x）的减区间为[6k-1，6k+2]，k∈z．

点评 本题主要考查两个向量的数量积公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的减区间，属于基础题．