Question

16．已知数列{a_n}满足a_n+1=3a_n+4，（n∈N^*）且a₁=1，
（Ⅰ）求证：数列{a_n+2}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用a_n+1=3a_n+4计算$\frac{{a}_{n+1}+2}{{a}_{n}+2}$即得结论；
（Ⅱ）通过a₁=1可知a₁+2=3，进而a_n=3ⁿ-2，利用等比数列的求和公式计算即得结论．

解答 （Ⅰ）证明：∵a_n+1=3a_n+4，
∴$\frac{{{a_{n+1}}+2}}{{{a_n}+2}}=\frac{{3{a_n}+6}}{{{a_n}+2}}=3，（n∈{N^*}）$，
∴{a_n+2}是公比为3等比数列；
（Ⅱ）解：∵a₁=1，
∴a₁+2=1+2=3，
∴a_n+2=3•3^n-1=3ⁿ，
∴a_n=3ⁿ-2，
∴${S_n}=\frac{{3（1-{3^n}）}}{1-3}-2n=\frac{{{3^{n+1}}-3}}{2}-2n$．

点评 本题考查等比数列的判定、数列的通项及前n项和，注意解题方法的积累，属于中档题．