Question

15．已知S_n是数列{a_n}的前n项和，且a₁=1，na_n+1=2S_n（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）通过a₁=1、na_n+1=2S_n（n∈N^*）直接代入计算即可；
（2）当n＞1时利用na_n+1-（n-1）a_n=2S_n-2S_n-1可知na_n+1=（n+1）a_n，进而$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{n}$，利用累乘法计算并验证当n=1时亦成立即可．

解答 解：（1）∵a₁=1，na_n+1=2S_n（n∈N^*），
∴a₂=2S₁=2a₁=2，
∵2a₃=2S₂=2（a₁+a₂）=2（1+2）=6，
∴a₃=3，
∵3a₄=2S₃=2（a₁+a₂+a₃）=2（1+2+3）=12，
∴a₄=4；
（2）当n＞1时，由na_n+1=2S_n得（n-1）a_n=2S_n-1，
∴na_n+1-（n-1）a_n=2S_n-2S_n-1=2a_n，
化简得：na_n+1=（n+1）a_n，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{n}$，
∵a₂=2，
∴$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=$\frac{3}{2}$，
$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$=$\frac{4}{3}$，
…
$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n}{n-1}$，
以上（n-1）个式子相乘得：a_n=$2×\frac{3}{2}×\frac{4}{3}×$…×$\frac{n}{n-1}$=n，
又a₁=1满足上式，
∴a_n=n（n∈N^*）．

点评 本题考查数列的通项，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．