Question

4．已知数列{a_n}，其前n项的和为S_n（n∈N^*），点（n，S_n）在抛物线y=2x²+3x上；各项都为正数的等比数列{b_n}满足b₁b₃=$\frac{1}{16}$，b₅=$\frac{1}{32}$．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项数列；
（2）记c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）易得S_n=2n²+3n，令n=1可得首项a₁，当n≥2时可得a_n=S_n-S_n-1，代入可得通项，设等比数列{b_n}的公比为q，可建立关于b₁，q的方程组，解之可得；
（2）由（1）可得c_n=（4n+1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，由错位相减法可求和．

解答 解：（1）∵点（n，S_n）在抛物线y=2x²+3x上，
∴S_n=2n²+3n，
当n=1时，a₁=S₁=5，
当n≥2时，S_n-1=2（n-1）²+3（n-1），
∴a_n=S_n-S_n-1=4n+1，
∴数列{a_n}是首项为5，公差为4的等差数列，
∴a_n=4n+1；
又∵各项都为正数的等比数列{b_n}满足b₁b₃=$\frac{1}{16}$，b₅=$\frac{1}{32}$，
设等比数列{b_n}的公比为q，
∴b₂=b₁q=$\frac{1}{4}$，b₁q⁴=$\frac{1}{32}$，
解得b₁=$\frac{1}{2}$，q=$\frac{1}{2}$，
∴b_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ；
（2）由（1）可知c_n=（4n+1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∴T_n=5•$\frac{1}{2}$+9•$\frac{1}{4}$+13•$\frac{1}{8}$+…+（4n+1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ①
∴$\frac{1}{2}$T_n=5•$\frac{1}{4}$+9•$\frac{1}{8}$+13•$\frac{1}{16}$+…+（4n+1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹②
②-①知$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{5}{2}$+4（$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{16}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$）-（4n+1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹
=$\frac{5}{2}$+4•$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-（4n+1））•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
化简可得T_n=9-（4n+9）））•（$\frac{1}{2}$）ⁿ．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，涉及错位相减法求和，属中档题．