Question

9．函数y=$\frac{{{x^2}+3}}{{\sqrt{{x^2}+2}}}$的最小值是$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 将函数化为y=（$\frac{1}{2}$$\sqrt{{x}^{2}+2}$+$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$）+$\frac{1}{2}$$\sqrt{{x}^{2}+2}$，注意运用基本不等式和二次函数的最值，同时注意最小值取得时，x的取值要一致，即可得到所求最小值．

解答 解：函数y=$\frac{{{x^2}+3}}{{\sqrt{{x^2}+2}}}$=$\frac{{x}^{2}+2+1}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$
=$\sqrt{{x}^{2}+2}$+$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$
=（$\frac{1}{2}$$\sqrt{{x}^{2}+2}$+$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$）+$\frac{1}{2}$$\sqrt{{x}^{2}+2}$
≥2$\sqrt{\frac{1}{2}}$+$\frac{1}{2}\sqrt{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
当且仅当$\frac{1}{2}$$\sqrt{{x}^{2}+2}$=$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$，即有x=0，取得等号．
则函数的最小值为$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$．
故答案为：$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查基本不等式的运用：求最值，注意求最值的条件：一正二定三等，属于中档题和易错题．