Question

1．在约束条件$\left\{\begin{array}{l}{y≤x}\\{y≥\frac{1}{2}x}\\{x+y≤1}\end{array}\right.$下，目标函数z=x+$\frac{1}{2}$y的最大值为$\frac{5}{6}$．．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．
由z=x+$\frac{1}{2}$y得y=-2x+2z，
平移直线y=-2x+2z，
由图象可知当直线y=-2x+2z经过点B时，直线y=-2x+2z的截距最大，
此时z最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{x+y=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2}{3}}\\{y=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，即B（$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$）
代入目标函数z=x+$\frac{1}{2}$y，
得z=$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{6}$．
故答案为：$\frac{5}{6}$．

点评 本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．