Question

7．已知点A（3，0），B（x₀，y₀）是圆C：（x-1）²+y²=4上异于点A的一个动点，O是坐标原点，点M是线段AB的中点．
（1）若$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，求点B的坐标；
（2）求点M的轨迹方程；
（3）求|OM|的最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意，令x=0，可得点B的坐标；
（2）设M（x，y），则B（2x-3，2y），代入圆C：（x-1）²+y²=4，可得点M的轨迹方程；
（3）由（2）可得|OM|的最小值为2-1=1．

解答 解：（1）由题意，令x=0，可得y=$±\sqrt{3}$，∴B（0，$±\sqrt{3}$）；
（2）设M（x，y），则B（2x-3，2y），
代入圆C：（x-1）²+y²=4，可得圆：（2x-4）²+4y²=4，
即：（x-2）²+y²=1；
（3）由（2）可得|OM|的最小值为2-1=1．

点评 本题考查轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．