Question

2．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C₁的方程为x²+y²=1，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρ（2cosθ-sinθ）=6．
（1）将曲线C₁上的所有点的横坐标伸长为原来的$\sqrt{3}$倍，纵坐标伸长为原来的2倍后得到曲线C₂，试写出直线l的直角坐标方程和曲线C₂的参数方程；
（2）设P为曲线C₂上任意一点，求点P到直线l的最大距离．

Answer 1

分析 （1）直线l的极坐标方程为ρ（2cosθ-sinθ）=6，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可化为直角坐标方程．将曲线C₁上的所有点的横坐标伸长为原来的$\sqrt{3}$倍，纵坐标伸长为原来的2倍后得到曲线C₂：$（\frac{x}{\sqrt{3}}）^{2}+（\frac{y}{2}）^{2}$=1，进而得到参数方程．
（2）设P$（\sqrt{3}cosθ，2sinθ）$，利用点到直线的距离公式与三角函数的单调性即可得出最大值．

解答 解：（1）直线l的极坐标方程为ρ（2cosθ-sinθ）=6，化为2x-y-6=0．
将曲线C₁上的所有点的横坐标伸长为原来的$\sqrt{3}$倍，纵坐标伸长为原来的2倍后得到曲线C₂：$（\frac{x}{\sqrt{3}}）^{2}+（\frac{y}{2}）^{2}$=1，即$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
可得曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）；
（2）设P$（\sqrt{3}cosθ，2sinθ）$，则点P到直线l的距离d=$\frac{|2\sqrt{3}cosθ-2sinθ-6|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|4cos（θ+\frac{π}{6}）-6|}{\sqrt{5}}$，
当$cos（θ+\frac{π}{6}）$=-1时，d_max=$\frac{|-4-6|}{\sqrt{5}}$=2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、椭圆参数方程的应用、点到直线的距离公式、三角函数的单调性、图象变换，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．