Question

17．如图，在四棱锥E-ABCD中，AE⊥DE，CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，CD=DA=6，AB=2，DE=3．
（1）求棱锥C-ADE的体积；
（2）在线段DE上是否存在一点P，使AF∥平面BCE？若存在，求出$\frac{EF}{ED}$的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）在Rt△ADE中，AE=$\sqrt{{AD}^{2}{-DE}^{2}}$，可得S_△ADE=$\frac{1}{2}$AE•DE．由于CD⊥平面ADE，可得V_C-ADE=$\frac{1}{3}$CD•S△ADE．
（2）在线段DE上存在一点F，使AF∥平面BCE，$\frac{EF}{ED}$=$\frac{1}{3}$，设F为线段DE上的一点，过F作FM∥CD交CE于点M，由线面垂直的性质可得：CD∥AB．可得四边形ABMF是平行四边形，于是AF∥BM，即可证明AF∥平面BCE

解答 解：（1）在Rt△ADE中，AE=$\sqrt{{AD}^{2}{-DE}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∴S_△ADE=$\frac{1}{2}$AE•DE=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{3}$×3=$\frac{9}{2}$$\sqrt{3}$，
∵CD⊥平面ADE，∴V_C-ADE=$\frac{1}{3}$CD•S△ADE=$\frac{1}{3}$×6×$\frac{9}{2}$$\sqrt{3}$=9$\sqrt{3}$，
在线段DE上存在一点F，使AF∥平面BCE，$\frac{EF}{ED}$=$\frac{1}{3}$，
下面给出证明：设F为线段DE上的一点，且$\frac{EF}{ED}$=$\frac{1}{3}$，
过F作FM∥CD交CE于点M，则FM=$\frac{1}{3}$，
∵CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，
∴CD∥AB．又CD=3AB，
∴MF∥AB，MF=AB，
∴四边形ABMF是平行四边形，
∴AF∥BM，又AF?平面BCE，BM?平面BCE．
∴AF∥平面BCE．

点评 本题考查了线面面面垂直与平行的判定与性质定理、三棱锥的体积计算公式、平行线分线段成比例定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．