Question

6．已知：圆C：（x-1）²+（y-2）²=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0
求：（1）求直线l横过定点P的坐标；
（2）求证：不论m取何值，直线l与圆恒有两个交点；
（3）求直线l被圆M截得的弦长最小时的方程．

Answer 1

分析 （1）直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，即为m（2x+y-7）+（x+y-4）=0，可令系数为0，可得P（3，1）；
（2）将P的坐标代入圆的方程，可得P在圆内，即可得证；
（2）当圆心C到直线l的距离最大时弦长最短，此时CP⊥l，求得直线CP的斜率，由垂直的条件，可得直线l的斜率，即m的值，进而得到直线l的方程．

解答 解：（1）直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，
即为m（2x+y-7）+（x+y-4）=0，
令$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-7=0}\\{x+y-4=0}\end{array}\right.$，则$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$．
故直线l恒过点P（3，1）；
（2）证明：由于直线l恒过点P（3，1），
且（3-1）²+（1-2）²=5＜25，
即有点P（3，1）在圆C内，
∴直线l与圆C恒有两个交点；                                
（3）当圆心C到直线l的距离最大时弦长最短，
此时CP⊥l，
圆C：（x-1）²+（y-2）²=25的圆心为C（1，2），
由直线CP的斜率为$\frac{2-1}{1-3}$=-$\frac{1}{2}$，
即有直线l的斜率为2，即-$\frac{2m+1}{m+1}$=2，
即m=-$\frac{3}{4}$，
则直线l的方程为2x-y-5=0．

点评 本题考查直线和圆的位置关系：相交，同时考查直线恒过定点的求法，以及弦长的最值的情况，属于中档题．