Question

16．已知三个正数a，b，c满足a≤b+c≤3a，3b²≤a（a+c）≤5b²，则$\frac{b-2c}{a}$的最小值是（　　）

• A． -$\frac{18}{5}$
• B． -3
• C． 0
• D． 不存在

Answer 1

分析 将不等式组进行转化，设$\frac{b}{a}$=x，$\frac{c}{a}$=y，利用线性规划的知识进行求解即可．

解答 解：不等式a≤b+c≤3a，3b²≤a（a+c）≤5b²，
等价为1≤$\frac{b}{a}$+$\frac{c}{a}$≤3，3（$\frac{b}{a}$）²≤1+$\frac{c}{a}$≤5（$\frac{b}{a}$）²，
设$\frac{b}{a}$=x，$\frac{b}{a}$=y，
则不等式等价为$\left\{\begin{array}{l}1≤x+y≤3\\ 3{x}^{2}≤1+y≤5{x}^{2}\\ x＞0，y＞0\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}x+y≥1\\ x+y≤3\\ y≥3{x}^{2}-1\\ y≤5{x}^{2}-1\\ x＞0\\ y＞0\end{array}\right.$，
则$\frac{b-2c}{a}$=$\frac{b}{a}$-2•$\frac{c}{a}$=x-2y，
设z=x-2y，
作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=x-2y得y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$z，
平移直线y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$z，
由图象可知当直线y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$z，过点A时，直线y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$z的截距最大，此时z最小，
由$\left\{\begin{array}{l}x+y=3\\ y=5{x}^{2}-1\\ x＞0\\ y＞0\end{array}\right.$，解得x=$\frac{4}{5}$，y=$\frac{11}{5}$，
代入目标函数z=x-2y，
得z=-$\frac{18}{5}$
∴目标函数z=x-2y的最小值是-$\frac{18}{5}$，
故选：A

点评 本题主要考查线性规划的应用，将不等式组进行转化，利用换元法转化为线性规划的知识是解决本题的关键．综合性较强．