Question

7．已知函数f（x）=ax²+x-a，a∈R．
（1）若函数f（x）有最大值$\frac{17}{8}$，求实数a的值；
（2）当a＜0时，解不等式f（x）＞1．

Answer 1

分析 （1）若函数f（x）有最大值$\frac{17}{8}$，则$\left\{\begin{array}{l}a＜0\\ \frac{-4{a}^{2}-1}{4a}=\frac{17}{8}\end{array}\right.$，解得实数a的值；
（2）当a＜0时，解不等式f（x）＞1可化为：$（x-1）（x+\frac{a+1}{a}）＜0$，讨论$-\frac{a+1}{a}$与1的大小，可得答案．

解答 解：（1）若函数f（x）有最大值$\frac{17}{8}$，
则$\left\{\begin{array}{l}a＜0\\ \frac{{-4{a^2}-1}}{4a}=\frac{17}{8}\end{array}\right.$
解得：a=-2或a=-$\frac{1}{8}$，
（2）当a＜0时，
ax²+x-a＞1$⇒a{x^{2}}+x-a-{1}＞0⇒a（x-1）（x+\frac{a+1}{a}）＞0$$⇒（x-1）（x+\frac{a+1}{a}）＜0$
当$1＞-\frac{a+1}{a}$，即a＜$\frac{1}{2}$时，$x∈（-\frac{a+1}{a}，1）$；
当$1＜-\frac{a+1}{a}$，即$-\frac{1}{2}＜a＜0$时，$x∈（1，-\frac{a+1}{a}）$；
当$1=-\frac{a+1}{a}$，即$a=-\frac{1}{2}$时，x∈∅．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，二次不等式的解法，难度不大，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．