Question

2．在平面直角坐标系xOy中，过点P（4，0）作倾斜角为a的直线l，以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₁的极坐标方程为ρ=1，将曲线C₁上各点的横坐标伸长为原来的5倍，纵坐标伸长为原来的3倍，得到曲线C₂，直线l与曲线C₂交于不同的两点M，N．
（1）求直线l的参数方程及曲线C₂的普通方程．
（2）求$\sqrt{\frac{1}{|PM|•|PN|}}$的范围．

Answer 1

分析 （1）直接由题意写出直线的参数方程，化曲线C₁的极坐标方程为直角坐标方程，然后化为参数方程伸缩变换后化为普通方程；
（2）把直线的参数方程代入曲线C₂，整理后利用根与系数的关系求得答案．

解答 解：（1）∵直线l过点P（4，0），且倾斜角为a，则其参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=4+tcosa}\\{y=tsina}\end{array}\right.$；
由ρ=1，得ρ²=1，∴x²+y²=1，即$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，
曲线C₁上各点的横坐标伸长为原来的5倍，纵坐标伸长为原来的3倍，得$\left\{\begin{array}{l}{x=5cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$，
化为直角坐标方程为$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$；
（2）把直线方程$\left\{\begin{array}{l}{x=4+tcosa}\\{y=tsina}\end{array}\right.$代入为$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$，得（25sin²a+9cos²a）t²+72tcosa-81=0．
∴|PM|•|PN|=$|{t}_{1}{t}_{2}|=|\frac{81}{25si{n}^{2}a+9co{s}^{2}a}|$，
$\sqrt{\frac{1}{|PM|•|PN|}}$=$\sqrt{\frac{25si{n}^{2}a+9co{s}^{2}a}{81}}$=$\sqrt{\frac{16si{n}^{2}a+9}{81}}$．
∵0≤16sin²a≤16，9≤16sin²a+9≤25，
则|PM|•|PN|∈[$\frac{1}{3}$，$\frac{5}{9}$]．

点评 本题考查了简单曲线的极坐标方程，考查直线和圆锥曲线的关系，是基础题．