Question

4．△ABC满足$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=2$\sqrt{3}$，∠BAC=30°，设M是△ABC内的一点（不含边界），定义f（M）=（x，y，z），其中x，y，z分别表示△MBC，△MCA，△MAB的面积，若f（M）=（x，y，$\frac{1}{3}$），则$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$的最小值为（　　）

• A． 4
• B． 6
• C． 9
• D． $\frac{27}{2}$

Answer 1

分析 先求出|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|的值，再求出x+y是定值，将$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$变形为$\frac{3}{2}$（$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$）（x+y），展开不等式再利用基本不等式的性质从而求出最小值．

解答 解：∵$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=2$\sqrt{3}$，∠BAC=30°，
所以由向量的数量积公式得|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|•cos∠BAC=2$\sqrt{3}$，
∴|$\overrightarrow{AB}$||$\overrightarrow{AC}$|=4，
∵S△ABC=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|•sin∠BAC=1，
由题意得：x+y=1-$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{3}$，
$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$=$\frac{3}{2}$（$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$）（x+y）
=$\frac{3}{2}$（5+$\frac{y}{x}$+$\frac{4x}{y}$）
≥$\frac{3}{2}$（5+2$\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{4x}{y}}$）
=$\frac{27}{2}$，
等号在x=$\frac{1}{6}$，y=$\frac{1}{3}$取到，所以最小值为$\frac{27}{2}$，．
故选：D．

点评 本题考查基本不等式的应用和余弦定理，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用．