Question

16．已知函数f（x）=2^x，等差数列{a_n}的公差为2．若f（a₂+a₄+a₆+a₈+a₁₀）=4，则log₂[f（a₁）•f（a₂）…f（a_n）]=-6（n∈N^*），则n=（　　）

• A． 10
• B． 8
• C． 6
• D． 5

Answer 1

分析 先根据等差数列{a_x}的公差为2和a₂+a₄+a₆+a₈+a₁₀=2进而可得到a₆=$\frac{2}{5}$，由d=2，可得a₁，再由对数和指数的运算法则，结合等差数列的求和公式，解方程可求出答案．

解答 解：f（a₂+a₄+a₆+a₈+a₁₀）=4，
即有a₂+a₄+a₆+a₈+a₁₀=2，
则a₂+a₁₀=a₄+a₈=2a₆，
即有5a₆=2，
即为a₆=$\frac{2}{5}$，
由d=2，
则a₁=a₆-5d=-$\frac{48}{5}$，
∴f（a₁）•f（a₂）…f（a_n）=${2}^{{a}_{1}}$$•{2}^{{a}_{2}}$…${2}^{{a}_{n}}$=${2}^{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}$，
由log₂[f（a₁）•f（a₂）…f（a_n）]=-6，
可得a₁+a₂+…+a_n=-6，
即为-$\frac{48}{5}$n+$\frac{1}{2}$n（n-1）•2=-6，
解得n=10．
故选A．

点评 本题主要考查等差数列的性质和指数、对数函数的运算法则．属中档题．