Question

4．设F₁和F₂是双曲线$\left\{\begin{array}{l}x=2secθ\\ y=tanθ\end{array}\right.（θ为$为参数）的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F₁PF₂=90°，那么△F₁PF₂的面积是（　　）

• A． 1
• B． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• C． 2
• D． 5

Answer 1

分析 由双曲线$\left\{\begin{array}{l}x=2secθ\\ y=tanθ\end{array}\right.（θ为$为参数），消去参数θ可得：$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1．利用双曲线的定义与勾股定理即可得出．

解答 解：由双曲线$\left\{\begin{array}{l}x=2secθ\\ y=tanθ\end{array}\right.（θ为$为参数），消去参数θ可得：$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1．
可得a=2，b=1，∴$c=\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
设|PF₁|=m，|PF₂|=n，m＞n，
则$\left\{\begin{array}{l}{m-n=2a=4}\\{{m}^{2}+{n}^{2}=4{c}^{2}=20}\end{array}\right.$，可得mn=2．
∴△F₁PF₂的面积S=$\frac{1}{2}mn$=1．
故选：A．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、双曲线的定义、勾股定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．