Question

13．已知数列{a_n}的首项a₁=2，点（$\frac{1}{2}$a_n，a_n+1+1）在函数f（x）=2x+3的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满b_n=$\frac{1}{{a}_{n}^{2}-1}$，T_n为数列{b_n}的前n项和，且T₁，T_m，T_6m成等比数列，求正整数m的值．

Answer 1

分析 （1）运用等差数列的定义和通项公式，即可得到所求数列的通项；
（2）化简数列b_n=$\frac{1}{{a}_{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{4{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），运用裂项相消求和可得T_n=$\frac{n}{2n+1}$，再由等比数列的性质，解方程可得m=2．

解答 解：（1）点（$\frac{1}{2}$a_n，a_n+1+1）在函数f（x）=2x+3的图象上．
即有a_n+1+1=a_n+3，
即为a_n+1=a_n+2，
则数列{a_n}为首项为2，公差为2的等差数列，
即有a_n=2n；
（2）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{4{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
T_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$，
T₁，T_m，T_6m成等比数列，
即为$\frac{1}{3}$，$\frac{m}{2m+1}$，$\frac{6m}{12m+1}$成等比数列，
即有$\frac{1}{3}$•$\frac{6m}{12m+1}$=（$\frac{m}{2m+1}$）²，
化简可得4m²-7m-2=0，
解得m=2（-$\frac{1}{4}$舍去）．

点评 本题考查数列的通项的求法，同时考查等比数列的性质，以及数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．