Question

7．设复数z=a+i（i是虚数单位，a∈R，a＞0），且|z|=$\sqrt{10}$．
（Ⅰ）求复数z；
（Ⅱ）在复平面内，若复数$\overline{z}$+$\frac{m+i}{1-i}$（m∈R）对应的点在第四象限，求实数m取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据复数的模长公式进行化简即可．
（Ⅱ）根据复数的几何意义进行化简求解．

解答 解：（Ⅰ）∵z=a+i，|z|=$\sqrt{10}$，
∴|z|=$\sqrt{{a}^{2}+1}$=$\sqrt{10}$，…（2分）
即a²=9，解得a=±3，…（4分）
又∵a＞0，
∴a=3，…（5分）
∴z=3+i．                                …（6分）
（Ⅱ）∵z=3+i，则$\overline{z}$=3-i，…（7分）
∴$\overline{z}$+$\frac{m+i}{1-i}$=3-i+$\frac{（m+i）（1+i）}{（1-i）（1+i）}$=$\frac{m+5}{2}$+$\frac{m-1}{2}$i，…（8分）
又∵复数$\overline{z}$+$\frac{m+i}{1-i}$（m∈R）对应的点在第四象限，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{m+5}{2}＞0}\\{\frac{m-1}{2}＜0}\end{array}\right.$  得$\left\{\begin{array}{l}{m＞-5}\\{m＜1}\end{array}\right.$          …（11分）
∴-5＜m＜1．              …（12分）

点评 本题主要考查复数的基本运算以及复数的几何意义的应用，考查学生的运算能力．