Question

2．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁侧棱长为2，底面边AC、BC的长均为2，且AC⊥BC，若D为BB₁的中点，E为AC的中点，M为AB的中点，N为BC的中点．
（1）求证：MN∥平面A₁C₁D；
（2）求证：平面A₁C₁D⊥平面BCC₁B₁
（3）求点E到平面A₁C₁D的距离．

Answer 1

分析 （1）证明MN∥A₁C₁，即可证明MN∥平面A₁C₁D；
（2）证明A₁C₁⊥平面BCC₁B₁，即可证明：平面A₁C₁D⊥平面BCC₁B₁
（3）点E到面A₁C₁D的距离等于点C到平面A₁C₁D的距离，利用等积，可得点E到平面A₁C₁D的距离．

解答 （1）证明：∵M为AB的中点，N为BC的中点，
∴MN∥AC，
∵AC∥A₁C₁，
∴MN∥A₁C₁，
∵MN?面A₁C₁D，A₁C₁?面A₁C₁D，
∴MN∥面A₁C₁D；
（2）证明：∵AC⊥BC，AC⊥CC₁，BC∩CC₁=C，
∴AC⊥平面BCC₁B₁，
∵AC∥A₁C₁，
∴A₁C₁⊥平面BCC₁B₁，
∴平面A₁C₁D⊥平面BCC₁B₁；
（3）解：点E到面A₁C₁D的距离等于点C到平面A₁C₁D的距离，设为h，
△A₁C₁D中，A₁C₁=2，C₁D=$\sqrt{5}$，A₁C₁⊥C₁D，∴${S}_{△{A}_{1}{C}_{1}D}$=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{5}$=$\sqrt{5}$
利用等积，可得$\frac{1}{3}×\sqrt{5}$h=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×2$
∴h=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查线面平行、垂直的证明，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．