Question

7．函数g（x）=log₂$\frac{2x}{x+1}$（x＞0），关于方程|g（x）|²+m|g（x）|+2m+3=0有三个不同实数解，则实数m的取值范围为-$\frac{3}{2}$＜m≤-$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 可判断函数y=$\frac{2x}{x+1}$在（0，+∞）上单调递增，y=log₂x在（0，2）上单调递增，从而可得|g（x）|=0或0＜|g（x）|＜1，0＜|g（x）|＜1或|g（x）|≥1；从而解得．

解答 解：当x＞0时，0＜$\frac{2x}{x+1}$＜2，
且函数y=$\frac{2x}{x+1}$在（0，+∞）上单调递增，
y=log₂x在（0，2）上单调递增，
且y＜1；
故若关于方程|g（x）|²+m|g（x）|+2m+3=0有三个不同实数解，
则|g（x）|=0或0＜|g（x）|＜1，0＜|g（x）|＜1或|g（x）|≥1；
若|g（x）|=0，则2m+3=0，故m=-$\frac{3}{2}$；
故|g（x）|=0或|g（x）|=$\frac{3}{2}$，不成立；
故0＜|g（x）|＜1或|g（x）|≥1；
故$\left\{\begin{array}{l}{△={m}^{2}-4（2m+3）＞0}\\{2m+3＞0}\\{1+m+2m+3≤0}\end{array}\right.$，
解得，-$\frac{3}{2}$＜m≤-$\frac{4}{3}$；
故答案为：-$\frac{3}{2}$＜m≤-$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了复合函数的应用及方程的根与函数的零点的关系应用，属于中档题．