Question

【题目】已知函数

（1）函数，若是的极值点，求的值并讨论的单调性；

（2）函数有两个不同的极值点，其极小值为为，试比较与的大小关系，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1），在单调递减，在单调递增（2）

【解析】试题分析:(1)求出函数的导数,根据解出的值,从而确定的表达式,进而求出单调区间;(2)对求导, 有两个不同的极值点,即方程在有两个不同的实根，运用判别式和韦达定理,可得到,列表求出的单调区间和最值,即可得出,再通过构造，运用导数可知函数在单调递减,从而得出．

试题解析:（1） ，

，

因为是的极值点，所以，得， ，

此时 ， ，

当时， ；当时， ．

所以在单调递减，在单调递增．

（2） ，

，

因为有两个不同的极值点，所以在有两个不同的实根，设此两根为， ，且．

则，即，解得．

与随的变化情况如下表：

由表可知 ，

因为，所以代入上式得：

，所以，

因为，且，所以．

令，则，

当时， ，即在单调递减，

所以当时，有，

即．

点睛:本题考查导数的综合应用求单调性和极值,考查函数的单调性及运用,极值点的个数与方程根的关系,属于中档题.极值点的个数问题经常与导函数在定义域内的方程根个数相互转化,一元二次方程在有两个不同的实根，等价转化为判别式大于,韦达定理写出两根和与积,分别大于即可.