Question

【题目】已知函数（为常数，）.

（1）讨论函数的单调区间；

（2）当时，若函数在（，是自然对数的底数）上有两个零点，求的最小值.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】（1）函数的定义域为R，由，得. ...............2分

①当时，对都有，当变化时，，的变化如下表：

		0
	+	0	_
	增	极大值	减

此时，的递增区间为，递减区间为. ................4分

②当时，.由，得或.当变化时，，的变化如下表：

		0
	+	0	-	0	+
	增	极大值	减	极小值	增

此时，的递增区间为，，递减区间为.

③当时，.此时，的递增区间为，无减区间. .....6分

④当时，.由，得或.当变化时，，的变化如下表：.

				0
	+	0	-	0	+
	增	极大值	减	极小值	增

此时，的递增区间为，，递减区间为.

综上所述，当时，的递增区间为，递减区间为；

当时，的递增区间为，，递减区间为；

当时，的递增区间为，无减区间；

当时，的递增区间为，，递减区间为. ……8分

(2)当时，.由（1）可知，在上为增函数，

且的极大值为，所以在上有一个零点.

由，且在上为减函数，则必有. ................9分

要想函数在上还有一个零点，同时考虑到函数在上为增函数，

则只需，且.又因为，

且

，

所以当时，函数在还有一个零点，则的最小值为2. ................12分

综上所述，若在上有两个零点时，的最小值为2. ……13分