Question

（1）已知定点、，动点N满足（O为坐标原点），，，，求点P的轨迹方程.

如图，已知椭圆的上、下顶点分别为，点在椭圆上，且异于点，直线与直线分别交于点，

（ⅰ）设直线的斜率分别为、，求证：为定值；

（ⅱ）当点运动时，以为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论．

 

Answer 1

（1）；（2），以为直径的圆恒过定点或.

【解析】

试题分析：本题主要考查双曲线的定义、标准方程，椭圆的标准方程等基础知识，考查数形结合思想，考查学生的分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问，利用得到N是的中点，数形结合，利用得M、P、共线，在三角形中，利用中位线得，利用得到F1M⊥PN，在三角形中，中点和高的垂足重合，得|PM|=|PF1|，由双曲线的定义可知点P的轨迹为双曲线，（ⅰ）利用椭圆的标准方程得到点A、B的坐标，设出点P的坐标，从而求出和，利用点P在椭圆上进行的转化，计算出结果为常数即可，（ⅱ）设出点Q的坐标，根据已知条件求出点M、N的坐标，写出坐标，利用，列出等式，求出定点坐标.

试题解析：（1）连接ON∵ ∴点N是MF1中点 ∴|MF2|=2|NO|=2

∵ ∴F1M⊥PN ∴|PM|=|PF1|

∴|∣PF1|-|PF2∣|=||PM|-|PF2||=|MF2|=2＜|F1F2|

由双曲线的定义可知：点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线.

点P的轨迹方程是 4分

（2）（ⅰ），，令，则由题设可知，

直线的斜率，的斜率，

又点在椭圆上，所以（），

从而有. 8分

（ⅱ）设点是以为直径的圆上任意一点，则，又易求

得、.

所以、.

故有.又，化简后得到以

为直径的圆的方程为. 11分

令，解得或. 13分

所以以为直径的圆恒过定点或. 14分

考点：双曲线的定义、标准方程，椭圆的标准方程.