Question

有六节电池，其中有2节没电，4节有电，每次随机抽取一个测试，不放回，直至分清楚有电没电为止，
（Ⅰ）求“第二次测出的电池没电的情况下第三次测出的电池也没电”的概率．
（Ⅱ）所要测试的次数ξ为随机变量，求ξ的分布列和数学期望Eξ．

Answer 1

分析：（Ⅰ）法一：设事件A=“第二次测出的电池没电”，B=“第三次测出的电池也没电”，由题设条件知P(A)=

4

6

×

2

5

+

2

6

×

1

5

=

1

3

，P(A∩B)=

4

6

×

2

5

×

1

4

=

1

15

，再由条件概率公式能求出“第二次测出的电池没电的情况下第三次测出的电池也没电”的概率．
法二：设A=“第二次测出的电池没电的情况下第三次测出的电池也没电”，结合题设条件利用古典概型能够求出“第二次测出的电池没电的情况下第三次测出的电池也没电”的概率．
（Ⅱ）ξ的可能取值为2，3，4，5，P(ξ=2)=

A 2 2

A 2 6

=

1

15

，P(ξ=3)=

C 1 2 C 1 4 A 2 2

A 3 6

=

2

15

，P(ξ=4)=

A 4 4

A 4 6

+

C 1 2 C 2 4 A 3 3

A 4 6

=

1

15

+

1

5

=

4

15

，P(ξ=5)=

C 1 2 C 3 4 A 4 4

A 5 6

+

C 1 2 C 3 4 A 4 4

A 5 6

=

8

15

，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答：解：（Ⅰ）解法一：
设事件A=“第二次测出的电池没电”，
B=“第三次测出的电池也没电”，
则P(A)=

4

6

×

2

5

+

2

6

×

1

5

=

1

3

，
P(A∩B)=

4

6

×

2

5

×

1

4

=

1

15

，（2分）
所以P(B|A)=

P(A∩B)

P(A)

=

1

5

．（4分）
解法二：设A=“第二次测出的电池没电的情况下第三次测出的电池也没电”，
则P(A)=

A 2 2 A 4 4

C 1 2 A 5 5

=

1

5

（4分）
（Ⅱ）ξ的可能取值为2，3，4，5，
P(ξ=2)=

A 2 2

A 2 6

=

1

15

，
P(ξ=3)=

C 1 2 C 1 4 A 2 2

A 3 6

=

2

15

，
P(ξ=4)=

A 4 4

A 4 6

+

C 1 2 C 2 4 A 3 3

A 4 6

=

1

15

+

1

5

=

4

15

，
P(ξ=5)=

C 1 2 C 3 4 A 4 4

A 5 6

+

C 1 2 C 3 4 A 4 4

A 5 6

=

8

15

，（8分）
∴分布列为

ξ	2	3	4	5
P	1 15	2 15	4 15	8 15

（10分）
Eξ=2×

1

15

+3×

2

15

+4×

4

15

+5×

8

15

=

64

15

．（12分）

点评：本题考查古典概型和条件概率的求法，考查离散型随机就是的期望和方差．理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，体现了化归的重要思想，掌握列举法，学会运用分类讨论的思想解决概率的计算问题．易错点是审题不全面，导致出错．